Většina lidí nikdy neslyšela o problému Deliana, přesto tato starověká matematická hádanka zmatená brilantní mysl více než 2 400 let a nadále ovlivňuje to, jak chápeme limity lidského poznání dnes.
To, co začalo jako zoufalý pokus uklidnit rozzlobeného řeckého boha na malém ostrově, se nakonec stalo jednou z nejslavnějších nemožných problémů matematiky.
Když Apollo požadoval perfektní matematiku na Delos
V roce 430 př.nl byl Delos, malý posvátný ostrov, který věřili, že starověcí Řekové byli Apollovým rodištěm, devastován morem. Nahromaděné mrtvá těla, obchod s vnějším světem se zastavili a ostrovani byli ve stavu paniky. Přirozeně dělali to, co by udělal jakýkoli rozumný starověký řečtina: Pospěšte si a konzultujte Oracle na Delphi.
Však, ApolloOdpověď nebyla to, co očekávaly Delians. Jednoduše jim nařídil, aby zdvojnásobili svůj oltář – vypadají dostatečně přímočaré, že? Delians to také myslel. Brzy postavili lesklý nový oltář se stranami dvakrát tak dlouho jako originál, doufají, že to uspokojí Boha a vyřeší jejich masivní problém. Až na mor se zhoršil – mnohem horší.
Dežiny udělaly klasickou matematickou chybu. Zdvojnásobení stran krychle se nezdvojnásobí její objem; Zvyšuje to osmkrát. Apollo, zjevně perfekcionista ve věcech geometrie, by to nepřijal. Vyžadoval přesně zdvojnásobení hlasitosti, ne aproximaci, která ho nechala nespokojená.
Takto vznikl problém Delian. Požádá jednoho, aby postavil kostku s přesně dvojnásobkem objemu dané krychle s použitím pouze kompasu a neoznačeného přímého. Přestože je problém snadno popsat, je matematicky nemožné vyřešit.
Jak se staří matematici téměř šílili
Řečtí matematici hodili na tento problém vše, co měli. Hippokrates Chios, jedné z nejostřejších geometrických myslí 5. století před naším letopočtem, se podařilo vyřešit jeho část. Uvědomil si, že pokud byste našli dvě délky tvořící geometrickou progresi s 1 a 2 (tak, že 1: x = x: y = y: 2), pak by bylo vaše řešení. Chytrý, někdo, kdo to chápe, by to mohl říci, ale stále to nevyřešil skutečný konstrukční problém.
Pak přišla opravdu kreativní řešení. Archytas, stejný muž, který vynalezl mechaniku Létající holubnavrhl neslýchaný trojrozměrný přístup zahrnující protínající se válce a kužely. Představte si, že se to snažíte vysvětlit praktickému staviteli ve starověku Řecko.
Menaechmus, který měl štěstí učit Alexandra Velikého, zaujal úplně odlišný přístup. Použil kónické sekce – paraboly a hyperbolasy – v té době revoluční nápad. Když Alexander Menaechmus si zřejmě stěžoval na obtížnost geometrie, údajně mu řekl, že neexistuje žádná „královská cesta“ k matematice. Ironií bylo, že jeho vlastní řešení vyžadovalo křivky, které nemohly být nakresleny základními nástroji.
Ostatní matematici vynalezli zcela nové křivky, jen aby se tento problém vyřešili. Například Nicomedes vytvořil konchoid, zatímco Diocles vyvinul cissoid. Všechny tyto pokusy představovaly skutečné úsilí rozšířit hranice toho, co bylo geometricky možné v době, kdy lidské znalosti byly daleko za dnešními standardy.
Problém byl v tom, že žádná z těchto řešení nedodržovala původní pravidla. Všichni vyžadovali nástroje nebo techniky nad rámec tradičního kompasu a rovného. Řekové to pochopili. Nebyli podváděni, ale zkoumali, co bylo možné, když byla omezení problému uvolněna.
Teprve v 18. století Pierre wantedzel dokázáno, co Řekové pravděpodobně měli podezření, ale nikdy výslovně uvedli: Delianův problém je opravdu nemožné vyřešit pouze pomocí kompasu a rovného. Matematika za tímto důkazem je docela sofistikovaná a zahrnuje teorii Galois, ale základní myšlenkou je, že zdvojnásobení krychle vyžaduje konstrukci kořene krychle dvou, které nelze dosáhnout povoleným operací.
Může se to zdát jako starověká historie, ale je to překvapivě relevantní pro moderní matematiku. Například v počítačové grafice se algoritmy neustále přibližují „nemožným“ konstrukcím. Když jsou na obrazovce vidět hladké křivky, tyto algoritmy často vytvářejí aproximace matematických vztahů, které nelze konstruovat s přesností.
Poučení, které jsme se naučili z problému delian
Širší lekce je ještě hlubší. Problém Delian byl – a nadále je – jeden z prvních setkání lidstva s myšlenkou, že některé věci jsou prostě nemožné. Není to proto, že nám chybí správné nástroje nebo techniky, ale proto, že jsou zásadně mimo dosah určitých metod. Tento koncept – že existují různé typy nemožnosti – resonace během moderní matematiky, informatiky a dokonce i fyziky.
Ve vzdělávání zůstává problém skvělým způsobem, jak učit studenty, jak se geometrie a algebra spojují. Začnete vizuální, konkrétní výzvou a skončíte na abstraktním algebraickém území, což vysvětluje, proč vizuální přístup úplně selže. Je to matematika ve své nejelegantnější: jednoduché pochopení, nemožné vyřešit a hluboké v jeho důsledcích.
Starověké dealy, pokud víme, nikdy nedostali svůj oltář v pořádku. Jejich náboženská krize nám však dala něco mnohem cennějšího: dokonalý příklad toho, jak nás může snaha o přesné znalosti vést k neočekávanému území.
