Když největší matematik naživu představí vizi pro příští století výzkumu, matematika svět bere na vědomí. To je přesně to, co se stalo v roce 1900 na Mezinárodním kongresu matematiků na Sorbonne University v Paříži. Legendární matematik David Hilbert prezentováno 10 nevyřešených problémů jako ambiciózní směrnice pro 20. století. Později rozšířil svůj seznam tak 23 Problémya jejich vliv na matematické myšlení za posledních 125 let nelze přeceňovat.
Hilbertův šestý problém byl jedním z nejvhodnějších. Vyzval k „axiomatizující“ fyzice nebo určil holé minimum matematických předpokladů za všemi jeho teoriemi. Obecně vykládáno, není to jasné Matematičtí fyziky Mohl by někdy vědět, jestli tuto výzvu vyřešili. Hilbert se však zmínil o některých konkrétních subgoálech a vědci od té doby zdokonalovali svou vizi na konkrétní kroky k jeho řešení.
V březnu matematici Yu Deng z University of Chicago a Zaher Hani a Xiao Ma z University of Michigan zveřejnili nový článek na předtiskový server arxiv.org, že to tvrdí, že popraskal jeden z těchto cílů. Pokud jejich práce vydrží kontrolu, bude to znamenat hlavní krok k uzemňovací fyzice v matematice a může otevřít dveře analogicky průlom v jiných oblastech fyziky.
V příspěvku vědci naznačují, že přišli na to, jak sjednotit tři fyzické teorie, které vysvětlují pohyb tekutin. Tyto teorie řídí řadu inženýrských aplikací od designu letadel po predikci počasí – ale dosud však spočívaly na předpokladech, které nebyly přísně prokázány. Tento průlom nezmění samotné teorie, ale matematicky je ospravedlňuje a posiluje naši důvěru, že rovnice fungují tak, jak si myslíme.
Každá teorie se liší v tom, kolik přiblíží tekoucí kapalinu nebo plyn. Na mikroskopické úrovni jsou tekutiny složeny z částic – malé kulečníkové koule se boppingové kolem a občas srazí – a a Newtonovy pohybové zákony dobře pracovat na popisu jejich trajektorií.
Ale když oddálíte, abyste zvážili kolektivní chování obrovského počtu částic, tzv. Mezoskopické úrovně, již není vhodné modelovat každý jednotlivě. V roce 1872 rakouský teoretický fyzik Ludwig Boltzmann oslovil to, když se vyvinul, co se stalo známým jako Boltzmannova rovnice. Místo sledování chování každé částice zvažuje rovnice pravděpodobně chování a typický částice. Tato statistická perspektiva vyhladí detaily nízké úrovně ve prospěch trendů vyšší úrovně. Rovnice umožňuje fyzikům vypočítat, jak se množství, jako je hybnost a tepelná vodivost v tekutině, vyvíjejí, aniž by pečlivě zvažovaly každou mikroskopickou kolizi.
Dále oddálíte a ocitnete se v makroskopickém světě. Zde vnímáme tekutiny ne jako sběr diskrétních částic, ale jako jedinou kontinuální látku. Na této úrovni analýzy, jiná sada rovnic – Euler a Navier-Stokes rovnice – Přesně popište, jak se tekutiny pohybují a jak jejich fyzikální vlastnosti vzájemně propojují, aniž by to bylo možné na částice.
Každá tři úrovně analýzy popisují stejnou základní realitu – jak tekutiny proudí. V zásadě by každá teorie měla stavět na teorii pod ní v hierarchii: Eulerovy a Navier-Stokesovy rovnice na makroskopické úrovni by měly logicky následovat z Boltzmannovy rovnice na mezoskopické úrovni, která by zase měla logicky následovat z Newtonových zákonů pohybu na mikroskopické úrovni. To je druh „axiomatizace“, který Hilbert ve svém šestém problému požadoval, a on výslovně odkazoval na Boltzmannovy práce na plynech v jeho zápis problému. Očekáváme, že úplné teorie fyziky budou řídit matematická pravidla, která vysvětlují jev z mikroskopických po makroskopické úrovně. Pokud vědci tuto mezeru nedokážou překlenout, pak by to mohlo naznačovat nedorozumění v našich stávajících teoriích.
Sjednocení tří perspektiv dynamiky tekutin představovalo pro pole tvrdohlavou výzvu, ale Deng, Hani a Ma to možná právě udělali. Jejich úspěch staví na desetiletích přírůstkového pokroku. Všechny předchozí pokroky však přišlo s nějakým druhem hvězdičky; Například derivace zahrnuté fungovaly pouze na krátkých časových úsecích, ve vakuu nebo za jiných zjednodušujících podmínek.
Nový důkaz obecně sestává ze tří kroků: odvodit makroskopickou teorii z mezoskopické; odvodit mezoskopickou teorii z mikroskopické; a pak je spojte společně v jediné odvození makroskopických zákonů až z mikroskopických.
První krok byl dříve pochopen a dokonce i Hilbert k němu přispěl. Odvození mezoskopického z mikroskopického, na druhé straně, bylo mnohem matematicky náročnější. Pamatujte, že mezoskopické prostředí je o kolektivním chování obrovského počtu částic. Deng, Hani a Ma se tedy podívali na to, co se stane s Newtonovým rovnicím, protože počet jednotlivých částic srazí a ricocheting roste do nekonečna a jejich velikost se zmenšuje nula. Dokázali, že když natahujete Newtonovy rovnice k těmto extrémům, statistické chování systému – nebo pravděpodobné chování „typické“ částice v tekutině – se konverguje k roztoku Boltzmannovy rovnice. Tento krok tvoří most odvozením mezoskopické matematiky z extrémního chování mikroskopické matematiky.
Hlavní překážka v tomto kroku se týkala doby, po kterou rovnice modelovaly. Už to bylo známo Jak odvodit Boltzmannovu rovnici z Newtonových zákonů o velmi krátkých časových úsecích, ale to pro Hilbertův program nestačí, protože tekutiny v reálném světě mohou plynout po jakýkoli čas. S delšími časovými korytami přichází složitější: probíhá více kolizí a celá historie interakcí částice by mohla mít na jeho současné chování. Autoři to překonali tím, že pečlivé účetnictví o tom, jak moc historie částice ovlivňuje její současné a využívající nové matematické techniky, aby argumentovaly, že kumulativní účinky předchozích kolizí zůstávají malé.
Sledování jejich průlomu s dlouhým časovým rozvodem s předchozí prací na odvození Euleru a Navier-Stokes rovnice Z Boltzmannovy rovnice sjednocuje tři teorie dynamiky tekutin. Zjištění ospravedlňuje přijímání různých perspektiv tekutin na základě toho, co je v kontextu nejužitečnější, protože matematicky se sbližují na jedné konečné teorii popisující jednu realitu. Za předpokladu, že důkaz je správný, narušuje novou půdu v Hilbertově programu. Můžeme jen doufat, že jen s takovými novými přístupy bude přehrada prasknout na Hilbertovy výzvy a další fyzika bude proudit po proudu.
Tento článek byl poprvé publikován na Vědecký Američan. © Scientificamerican.com. Všechna práva vyhrazena. Sledujte Tiktok a Instagram, X a Facebook.
