Matematika dokazuje, že všechno se postupem času ve skutečnosti stává komplikovanějším

Ať už uvažujeme o globálním obchodu, nových technologiích nebo vědeckém výzkumu, zdá se, že se všechno v průběhu času stává složitějším. V minulosti se Polymaths stal v různých disciplínách dobře zběhlý a důležitými přispěly ke každému. Dnes je však pro člověka mnohem obtížnější vyniknout ve více doménách, částečně kvůli větší specializaci.

Nejedná se o „všechno dříve“. Je to jen střízlivé pozorování: svět byl jednodušší. A to platí z matematického hlediska. Fyzik a filozof Ludwig Boltzmann rozpoznal to zpět v roce 1872.

Boltzmann mimo jiné studoval chování plynů a kapalin. Jen o desetiletí dříve bylo navrženo, že všechno na světě bylo tvořeno malými stavebními bloky – konkrétně z atomů a molekul.

O podpoře vědecké žurnalistiky

Pokud se vám tento článek líbí, zvažte podporu naší oceněné žurnalistiky předplatné. Zakoupením předplatného pomáháte zajistit budoucnost působivých příběhů o objevech a myšlenkách, které dnes formují náš svět.

Pokud byste chtěli popsat, jak se chovají kapaliny a plyny, museli byste sledovat každou jednotlivou částici. Boltzmann věděl, že to není možné. Proto vyvinul rovnici pro popis pohybu částic v průměru. To však vedlo k záhadnému vhledu: zdá se, že jednotlivé atomy a molekuly sledují zcela odlišné zákony než jejich kolektivní tělo. Jak to může být?

Směr času

Představte si, že vám ukážu krátké video míče, které se několikrát srazí a válí se podél kouzelného tření bez kulečníku. (Pro účely tohoto myšlenkového experimentu si představte, že na stole nejsou žádné díry.)

Teď se vás ptám: „Hrál jsem video dopředu nebo dozadu?“ Ve skutečnosti je nemožné odpovědět na mou otázku.

Newtonovy zákony pohybu, které popisují elastické dopady kulečníkových koulí, nezávisí na směru času. Dávají stejný výsledek jak dopředu, tak dozadu. V 19. století odborníci předpokládali, že částice, které tvoří plyny nebo kapaliny, by se také pohybovaly jako malé koule přes prázdný prostor, občas narazily do sebe a sledovaly Newtonovy zákony pohybu, stejně jako výše uvedené kulečníkové koule.

Dnes víme, že pravda je komplikovanější. Atomy a molekuly se řídí kvantovou mechanikou, která je mnohem složitější. Je však zajímavé, že kvantová mechanika je také často předpokládal invariantní v časovém obrácení. To znamená, že stejně jako naše hypotetické kulečníkové koule, v atomovém a subatomickém měřítku, jako je například molekuly plynu, není nijak rozdíl, zda se na proces díváte dopředu nebo dozadu.

Na makro úrovni však věci vypadají docela jinak. Pokud z této mikroskopické reprezentace přiblížíte, směr času hraje rozhodující roli. Představte si nalití mléka do kávy. Různé látky se v čase mísí a vytvoří homogenní kapalinu. Tento proces nelze obrátit. Z kávy nemůžete odstranit mléko.

Tento zásadní rozdíl mezi mikro a makro světy byl Boltzmannovým hlavním problémem. Jak může být to, že nespočet rovnic, které popisují pohyby jednotlivých částic a jsou invariantní v čase zvrácení způsobují nevratné chování? Pokud může být každá kolize mezi jednotlivými částicemi teoreticky zvrácena, proč nemůže být mléko odděleno od kávy?

Tento jev lze intuitivně vysvětlit. Částice v plynu nebo kapalině se znovu a znovu srazí. To zpomaluje rychlé částice, zatímco pomalé částice se zrychlují. Pokud počkáte dostatečně dlouho, je v určitém okamžiku dosaženo rovnováhy a částice se v průměru pohybují stejnou rychlostí. Mohou existovat jednotlivé odlehlé hodnoty, ale v průměru mají částice zhruba stejnou rychlost a jsou rovnoměrně distribuovány ve vesmíru.

Co vlastně znamená „komplex“?

Boltzmann byl schopen vyjádřit části tohoto chování s rovnicí, která je nyní pojmenována po něm. Tato tzv. Boltzmannova rovnice ukazuje, jak se rychlost a distribuce částic v prostoru mění v závislosti na čase a místě. Rovněž zavedl „operátora kolize“, který v závislosti na podmínkách, jako je hustota nebo teplota, bere v úvahu účinky elastických kolizí na částice.

Boltzmannova rovnice je diferenciální rovnice. To znamená, že mimo jiné obsahuje deriváty. Takové rovnice je obvykle obtížné vyřešit. Přesto se Boltzmannovi podařilo tuto rovnici použít k prokázání, že náš svět je stále složitější.

K tomu musel nejprve definovat, co se rozumí termínem „komplex“. Homogenní směs mléka a kávy se zpočátku nezdá být zvlášť složitá. Z matematického a fyzického hlediska je to však. Existuje nespočet různých způsobů, jak se mikroskopické částice ve směsi mohly pohybovat a chovat se, a každá z nich by přinesla stejný makroskopický výsledek. To znamená, že i když jsou přesně známy poměr teploty, hustoty, objemu a míchání směsi, není možné přesně odvodit, jak jsou molekuly uspořádány nebo jaké jsou jejich příslušné rychlosti. Mnoho různých mikroskopických stavů vede ke stejnému konečnému výsledku.

Boltzmann označil tuto složitost za „entropii“. Čím vyšší je entropie systému, je, čím více možností existuje pro její mikroskopické komponenty způsobit stejný makroskopický jev. Pokud jsou mléko a káva oddělena, složitost jejich systému – a tedy entropie – je nízká. Je to proto, že molekuly mléka jsou stále oddělené od molebů kávy. Pokud se kapaliny nalijí dohromady, postupně se stále více mísí. Složitost a entropie jejich systému se proto v průběhu času neustále zvyšují. Jakmile je dosaženo stavu rovnováhy, entropie zůstává konstantní.

Boltzmann to oba popsal kvalitativně a matematicky ji odvodil s jeho rovnicí. Nepochybně se tak dokázal, že se na cestě do rovnováhy zvyšuje složitost systému.

Tento princip se vztahuje na náš vesmír jako celek. Pohled na holisticky, nic ve vesmíru není v rovnováze, ani samotný vesmír, který se neustále rozšiřuje. To znamená, že entropie – a tedy složitost – se v průběhu času neustále a neúprosně zvyšuje.

Tento článek se původně objevil v Spektrum vědy a byl reprodukován se svolením.