Dva Möbiovy pruhy se spojí a vytvoří bizarní objekt, který existuje pouze ve 4D
V geometrii existují povrchy, které se obejdou bez vnitřku nebo vnějšku – a některé potřebují k existenci alespoň čtyři rozměry
LAGUNA DESIGN/VĚDECKÁ FOTOKNIHOVNA/Getty Images
Vizuálně se „Klein bottle“ nezdá tak působivé. Na první pohled vypadá jako trendy váza v japonském stylu. A přesto fascinuje matematiky již více než 140 let.
Abychom pochopili proč, musíme se vydat daleko zpět do starověké římské říše, kde lze nalézt první stopy poněkud jednoduššího geometrického tvaru: Möbiův pás. Tento záhadný tvar je neuvěřitelný snadné vyrobit: Vezměte dlouhý proužek papíru a spojte oba konce k sobě. Než ale konce slepíte k sobě, otočte jeden o 180 stupňů. Výsledkem je zkroucený pás.
Z matematického hlediska jsou Möbiovy pásy fascinující, protože mají pouze jeden povrch a jeden okraj. Na rozdíl od válcového předmětu (například vytvořeného slepením konců proužku, který nebyl zkroucený), není uvnitř ani vně. Pro fyziky jsou tyto zkroucené tvary vynikajícími body pro srovnání při uvažování o vlastnostech subatomárních částic, jako je spin elektronu, který se musí otočit o 720 stupňů, aby se dostal zpět na začátek. A v továrnách byly Möbiovy pásy použity jako dopravní pásy, protože se opotřebovávají výrazně pomaleji než nekroucené pásy, u kterých je namáhána pouze jedna strana.
O podpoře vědecké žurnalistiky
Pokud se vám tento článek líbí, zvažte podporu naší oceňované žurnalistiky předplatné. Zakoupením předplatného pomáháte zajistit budoucnost působivých příběhů o objevech a nápadech, které formují náš dnešní svět.
Můžete se dotknout každého bodu Möbiova proužku přejetím prstu po povrchu tvaru, aniž byste jej zvedli. Matematici to označují jako „neorientovatelný“ povrch. Pokud máte rádi praktické experimenty, vřele doporučuji vyzkoušet vystřihnout Möbiův pás podélně různými způsoby – výsledky jsou ohromující.
Možnosti těchto podivných povrchů zaujaly i německého matematika Felixe Kleina. Usoudil, že když slepíte dva běžné proužky k sobě podél jejich příslušných okrajů, můžete získat širší proužek – to znamená, že jeden okraj každého proužku zmizí. Ale Möbiův pás má pouze jeden okraj. Co se tedy stane, když slepíte dva Möbiovy proužky k sobě? V tomto případě vznikne plocha bez ohraničení. Tímto zvláštním výtvorem je Kleinův flakon, povrch, který stejně jako Möbiův pás nemá ani vnitřek, ani vnějšek.
Kombinace proužků Möbius
Nyní, pokud se chystáte začít lepit proužky papíru, abyste tento nápad uvedli do praxe, obávám se, že vás musím zklamat. Skutečná Kleinova láhev může být vytvořena pouze ve čtyřech prostorových rozměrech. Ano, existují lahve inspirované lahví Klein, které existují ve třech rozměrech, ale technicky jsou to jen artefakty skutečné lahve Klein ve čtyřech rozměrech. Je to proto, že když vložíte tuto postavu do 3D prostoru, láhev se vždy protne, překážka, která nevznikne, když ji tvarujete ve 4D prostoru.
To znamená, že se můžeme alespoň pokusit představit si Kleinovu láhev. Představte si, že slepíte pravý a levý okraj kusu papíru a vytvoříte obyčejný válec. Poté slepíte horní a spodní okraj k sobě. Nejprve je ale stejně jako u Möbiova pásu otočíte o 180 stupňů.
Stejně jako Möbiův proužek má i Kleinova láhev fascinující matematické vlastnosti. Mimo jiné představuje jedinou výjimku z Ringel-Youngsovy věty, která se zabývá barvením předmětů. Například, pokud chcete nakreslit mapu a vybarvit jednotlivé země, aniž by sousední země měly stejnou barvu, pouze vy potřebuje čtyři různé barvy– bez ohledu na to, jak jsou země uspořádány.
Obecněji Ringel-Youngsův teorém o čtyřech barvách uvádí maximální počet barev potřebných k vybarvení zemí na površích různých tvarů. Jak se ukázalo, závisí to na počtu otvorů v površích. Například bych se mohl rozhodnout vytvořit mapu pro planetu ve tvaru koblihy. Jaký maximální počet barev bych v takovém případě potřeboval? Protože planeta má jednu díru, vyplývá z věty, že postačí maximálně sedm barev.
Ringel-Youngsova věta platí pro všechny povrchy kromě Kleinova láhev. Podle teorému by Kleinova láhev měla být vybarvitelná maximálně sedmi barvami; jak se však ukazuje, šest barev je pro malou lahvičku vždy dostačujících.
Díky těmto jedinečným vlastnostem – a své neorientovatelnosti – je Kleinova láhev jednou z několika oblíbené a ohromující předměty mezi matematiky. Objevuje se i ve fyzice, kde může pomoci popisují složité kvantové stavystejně jako Möbiův pás ilustruje spinové stavy.
Pokud máte nějaké praštěné přátele, 3D Kleinova láhev – i když to není úplně skutečná nabídka – by mohla být skvělým vánočním dárkem. Můžete ji dokonce použít jako vázu nebo karafu na víno.
Tento článek se původně objevil v spektrum vědy a byl reprodukován se svolením.
Je čas postavit se za vědu
Pokud se vám tento článek líbil, rád bych vás požádal o podporu. Scientific American sloužil jako obhájce vědy a průmyslu již 180 let a právě teď může nastat nejkritičtější okamžik v této dvousetleté historii.
Byl jsem a Scientific American předplatitel od mých 12 let a pomohlo mi to utvářet můj pohled na svět. SciAm vždy mě vzdělává a těší a vzbuzuje úctu k našemu obrovskému, krásnému vesmíru. Doufám, že to udělá i vám.
Pokud vy přihlásit se k odběru Scientific Americanpomáháte zajistit, aby se naše pokrytí soustředilo na smysluplný výzkum a objevy; že máme zdroje na podávání zpráv o rozhodnutích, která ohrožují laboratoře v USA; a že podporujeme začínající i pracující vědce v době, kdy hodnota samotné vědy příliš často zůstává nepoznaná.
Na oplátku získáte zásadní zprávy, strhující podcastyskvělá infografika, nepřehlédnutelné newsletteryvidea, která musíte vidět, náročné hrya nejlepší vědecké psaní a zpravodajství. Můžete dokonce darovat někomu předplatné.
Nikdy nebyl důležitější čas, abychom vstali a ukázali, proč na vědě záleží. Doufám, že nás v této misi podpoříte.
