Jedna otázka se zabývala lidstvem po tisíce let: existují nekonečno? Před více než 2 300 lety se Aristoteles rozlišoval mezi dvěma typy nekonečna: potenciálem a skutečným. Bývalý se zabývá abstraktními scénáři, které by vyplynuly z opakovaných procesů. Například, pokud jste byli požádáni, abyste si představili, že se počítá navždy, přidání 1 k předchozímu číslu, znovu a znovu, tato situace by podle Aristotelova názoru zahrnovala potenciální nekonečno. Skutečné nekonečnosti, jak tvrdil, však nemohl existovat.
Většina matematiků dala nekonečno do konce 19. století široké lůžko. Nebyli si jisti, jak se vypořádat s těmito podivnými množstvími. Co má za následek nekonečno plus 1 – nebo nekonečno nekonečno? Pak německý matematik Georg Cantor ukončil tyto pochybnosti. S teorií sady založil první matematickou teorii, která to umožnila vypořádat se s nesmírnou. Od té doby byly nedílnou součástí matematiky. Ve škole se dozvíme o souborech přírodních nebo reálných čísel, z nichž každá je nekonečně velká, a setkáváme se s iracionálními čísly, jako je PI a druhá odmocnina 2, která má nekonečný počet desetinných míst.
Přesto existují někteří lidé, tzv. Fitisté, kteří dodnes odmítají nekonečno. Protože všechno v našem vesmíru – včetně zdrojů pro výpočet věcí – se zdá, že je omezené, nemá pro ně smysl spočítat nekonečno. Někteří odborníci skutečně navrhli alternativní odvětví matematiky, která se spoléhá pouze na konečně konstrukční množství. Někteří se nyní dokonce snaží tyto myšlenky aplikovat na fyziku v naději, že najde lepší teorie, aby popisovali náš svět.
O podpoře vědecké žurnalistiky
Pokud se vám tento článek líbí, zvažte podporu naší oceněné žurnalistiky předplatné. Zakoupením předplatného pomáháte zajistit budoucnost působivých příběhů o objevech a myšlenkách, které dnes formují náš svět.
Nastavit teorii a nekonečna
Moderní matematika je založena na teorii scén, která, jak název napovídá, se točí kolem seskupení nebo sad. Můžete si myslet na sadu jako vak, do které můžete dát všechny druhy věcí: čísla, funkce nebo jiné entity. Porovnáním obsahu různých sáčků lze určit jejich velikost. Takže pokud chci vědět, zda je jedna taška plnější než druhá, vytáhnu předměty najednou z každého sáčku současně a uvidím, které vyprazdňují první.
Tento koncept nezní zvlášť překvapivě. Základní princip mohou pochopit i malé děti. Cantor si však uvědomil, že tímto způsobem lze porovnat nekonečně velké množství. Pomocí teorie sady dospěl k závěru, že existují nekonečno různých velikostí. Nekonečno není vždy stejné jako nekonečno; Některé nekonečna jsou větší než jiné.
Matematici Ernst Zermelo a Abraham Fraenkel použili teorii set, aby na začátku 20. století dali matematiku nadaci. Předtím byly podfieldy, jako je geometrie, analýza, algebra a stochastika, z velké části izolovaně od sebe. Fraenkel a Zermelo formulovali devět základních pravidel, známých jako axiomy, na nichž je nyní založen celý předmět matematiky.
Jedním takovým axiomem je například existence prázdné sady: Matematici předpokládají, že existuje sada, která nic neobsahuje; prázdná taška. Nikdo se na tuto myšlenku nezpochybňuje. Ale další axiom zajišťuje, že existují také nekonečně velké sady, což je místo, kde finitisté nakreslí čáru. Chtějí vybudovat matematiku, která se dostane bez této axiomu, konečné matematiky.
Sen o konečné matematice
Finitisté odmítají nekonečno nejen kvůli konečným zdrojům, které máme k dispozici ve skutečném světě. Také jsou obtěžováni kontraintuitivními výsledky, které lze odvodit z teorie sady. Například podle Banach-Tarski Paradox můžete rozebrat kouli a poté ji znovu sestavit na dvě koule, z nichž každá je stejně velká jako originál. Z matematického hlediska není problém zdvojnásobit kouli – ale ve skutečnosti to není možné.
Pokud devět axiomů umožňuje takové výsledky, argumentují finiti, pak je s axiomy něco špatného. Protože většina axiomů je zdánlivě intuitivní a zřejmá, finitisté pouze odmítá ten, který podle jejich názoru odporuje zdravému rozumu: axiom na nekonečných sadách.
Jejich pohled lze vyjádřit následovně: „Matematický objekt existuje pouze tehdy, pokud může být vytvořen z přirozených čísel s konečným počtem kroků.“ Iracionální čísla, přestože byla dosažena s čistými vzorci, jako je druhá odmocnina 2, se skládají z nekonečných součtů, a proto nemohou být součástí konečné matematiky.
V důsledku toho se některé logické principy již neplatí, včetně Aristotelovy věty vyloučený prostřednípodle kterého je matematické prohlášení vždy pravdivé nebo nepravdivé. V finitismu může být prohlášení v určitém okamžiku neurčité, pokud hodnota čísla dosud nebyla stanovena. Například s prohlášeními, která se točí kolem čísel, jako je 0,999 …, pokud provádíte celé období a zvažujete nekonečné číslo 9, odpověď se stane 1. ale pokud neexistuje nekonečno, toto tvrzení je jednoduše špatné.
Finitistický svět?
Bez věty vyloučeného středu vznikají všechny potíže. Ve skutečnosti je mnoho matematických důkazů založeno na tomto principu. Není tedy žádným překvapením, že se jen několik matematiků věnuje finitismu. Odmítnutí nekonečnosti dělá matematiku komplikovanější.
A přesto existují fyziky kteří sledují tuto filozofii, včetně Nicolase Gisina z Ženevské univerzity. Doufá, že konečný svět čísel může náš vesmír popsat lépe než současná moderní matematika. Své úvahy zakládá na myšlence, že prostor a čas mohou obsahovat pouze omezené množství informací. V souladu s tím nemá smysl spočítat s nekonečně dlouhým nebo nekonečně velkým počtem, protože ve vesmíru pro ně není prostor.
Toto úsilí dosud nepokročilo daleko. Považuji to za vzrušující. Koneckonců, fyzika Zdá se, že uvízl: Nejzákladnější otázky o našem vesmíru, jako je to, jak vznikl nebo jak se základní síly spojují, ještě musí být zodpovězeny. Nalezení jiného matematického výchozího bodu by se mohlo stát za vyzkoušení. Navíc je fascinující prozkoumat, jak daleko se můžete dostat do matematiky, pokud změníte nebo vynecháte některé základní předpoklady. Kdo ví, co překvapení číhá v konečné říši matematiky?
Nakonec se scvrkává na a otázka víry: Věříte v nekonečno nebo ne? Každý na to musí odpovědět pro sebe.
Tento článek se původně objevil v Spektrum vědy a byl reprodukován se svolením.
