Program Langlands byl popsán matematikem Edwardem Frankelem jako „Velká sjednocená teorie matematiky“ Program, který byl koncipován Robertem Langlandsem v roce 1967, zahrnuje četné dohady, které měly propojit nesourodé matematické říše: Teorie čísel a harmonická analýza. V 90. letech byla zaznamenána podobná souvislost mezi geometrií a harmonickou analýzou a zrodil se program geometrických Langlands. O desetiletí později, v roce 2024, Dennis Gaitsgory of Max Planck Institute for Mathematics v Bonnu v Německu a osm jeho kolegů dosáhl průlomu. V Pět vědeckých předtiskovacích papírůSkládá se z téměř 1 000 stránek a dokázali, že velká třída geometrických objektů souvisí s množstvím z počtu. Gaitsgory nyní získala průlomovou cenu v matematice, která za tento vynikající úspěch zahrnuje ocenění 3 miliony dolarů.
Vědecký AmeričanPublikace sestra německého jazyka Spektrum vědy Mluvil s Gaitsgory o jeho matematické kariéře, Langlands Achievement a prestižní průlomové ceně.
(Následuje upravený přepis rozhovoru.)
O podpoře vědecké žurnalistiky
Pokud se vám tento článek líbí, zvažte podporu naší oceněné žurnalistiky předplatné. Zakoupením předplatného pomáháte zajistit budoucnost působivých příběhů o objevech a myšlenkách, které dnes formují náš svět.
Pracujete na geometrickém programu Langlands 30 let. Kdy jste si uvědomili, že to dokážete dokázat?
Byl tam velmi zásadní krok, který byl vždy záhadou. To bylo vyřešeno bývalým postgraduálním studentem mého (matematika) Samem Raskinem a jeho postgraduálními studenty v zimě roku 2022. Dokázali, že něco je nenulové. Poté bylo jasné, že budeme schopni vypracovat důkaz.
Jak jste se cítili, když jste si uvědomili, že to lze opravdu udělat?
Vždy jsem to vnímal jako nějaký dlouhodobý projekt pro sebeurčení. Takže jsem se zjevně cítil šťastný, ale nebylo to jako velmi silné emoce nebo tak něco. Nebyl to okamžik Eureka.
Domněnka, kterou jsme prokázali, je jeden konkrétní případ něčeho mnohem, mnohem většího. Získala velkou pozornost, protože je to jedna dobře formovaná věc. Ale je to jen jeden krok. Byl jsem šťastný, že tento krok byl proveden, ale je toho mnohem víc.
Takže nebylo objevováno žádné šampaňské? Právě jste se posadili a pokračovali v práci?
Nebylo tam žádné šampaňské, ale něco podobného. Když (Raskin) řekl, že by mohl dokázat tuto zásadní část, udělali jsme sázku: Kdyby to mohl opravdu udělat, slíbil jsem mu láhev skotské.
Důkaz je obrovský, téměř 1 000 stránek. Dohlíželi jste na všechno?
Napsal jsem z toho 95 procent. (To bylo) ne z dobrého důvodu, ale protože jsem měl zranění z lyžování a já jsem jen ležel v posteli. Co ještě tedy mělo dělat? Sledoval jsem Hvězdné války s mým synem a psaním této věci.
Myslíš tím, že jsi udělal oba na stejný čas?
Zpočátku byly některé sekce v našich novinách pojmenovány Hvězdné války Epizody, ale nakonec jsme smazali (ten prvek), většinou z obav z autorských práv. Ale jeden papír má stále citát Hvězdné války: „Strach bude udržovat místní systémy v řadě.“ Bylo to opravdu dobré, protože v tomto článku jsme museli ovládat moduli prostoru místních systémů.
Je to jedna věc, kterou něco porozumí, ale druhá, aby si všechno napsal podrobně. Objevily se nějaké problémy?
Samozřejmě. Měli jsme cestovní mapu, ale stále bylo spousta mezer, které bylo třeba vyplnit, mnoho teorií, které se mají vyvinout.
Ale nemyslím si, že byl okamžik skutečné paniky. Někdy jsem si nebyl jistý, zda by jedna věc vyžadovala další tři stránky, dalších 20 stránek nebo dalších 50 stránek. Nejistota byla jen nejistota o tom, kolik toho musí být provedeno více práce.
Udělali jste to všechno ze své postele?
Ne, vlastně to byl kooperativní proces. Důkaz má devět spoluautorů: Každý den, kdy jsem psal tomuto chlapi a tomu chlapi. Všichni mají různé perspektivy a mírně odlišný druh odbornosti. V jistém smyslu to bylo, jako bych ležel v posteli a moji kolegové mě navštěvovali, takže jsem se nenudil. Opravdu to zvedly duchy, že jsem s nimi mohl mluvit e-mailem.
Jsou někteří lidé, kteří chodí do baru pít; Místo toho jen mluvíme o matematice. Mluví o fotbale; Mluvíme o matematice. Je to totéž; Je to lidská interakce.
Když už mluvíme o lidské interakci, mluvíte o své práci se svými přáteli a rodinou?
Ne. Nejsou to matematici. Nemohou technicky pochopit. Moje žena byla blízko mého boku a zná příběh a vývoj tématu. Ví, jak tyto věci vypadají zvenčí, ale nemohu popsat obsah (k ní).
Mnoho lidí by řeklo, že program Langlands je jedním z nejsložitějších výzkumných témat na světě. Souhlasili byste?
Otázka zní: Co myslíš podle komplexu? Ano, člověk nemůže pocházet z ulice a jen to studovat. Totéž se však vztahují na to, co dělají další matematici, jako je Peter Scholze (WHO studuje aritmetickou geometrii na University of Bonn v Německu a Max Planck Institute for Mathematics). Nemám pozadí, abych si jen promluvil, že dává, a porozumět tomu, co říká, protože existuje spousta technických detailů.
Je to stejné tady. Člověk musí investovat určité úsilí, aby pochopil, jak věci fungují, a pak by člověk měl být schopen porozumět. Ale to neříká, že cokoli, co děláme, je přirozeně složitější. Myslím, že všechna hraniční matematika je stejně komplikovaná. Všichni se snažíme posunout hranici v různých bodech.
Kolik lidí může pochopit technické části vaší práce?
Nyní komunita roste, protože lidé studují náš důkaz. Až do loňského roku však kromě (mých) osmi spoluautorů mohlo existovat pět nebo šest lidí, kteří by měli schopnost porozumět technickým údajům.
Přejete si, aby do tohoto typu výzkumu bylo zapojeno více lidí?
Ano, určitě. Doposud to byla velmi malá komunita: lidé, kteří posunuli hranice, byli v podstatě moji bývalí studenti plus Dima Arinkin (matematický profesor na University of Wisconsin – Madison), který je mým věkem. Po mnoho let byl blízkým přítelem a spolupracovníkem. Některé nápady se tedy recyklují. Bylo by hezké mít příliv lidí zvenčí. Mohli by přinést něco úplně nového. Byl bych velmi nadšený, když vidím nové nápady.
Co by se dalo udělat, aby se více lidí zajímalo o problém geometrických langlandů?
Myslím, že další přednášky a workshopy na toto téma. V srpnu například v Kodani bude v Kodani mistrovská třída. A v Berkeley v Kalifornii bude konference, ale nyní náš výzkum získává větší pozornost, protože náš důkaz je mimo. Pravidelně dostávám e-maily, většinou od mladších lidí.
(V době mého rozhovoru) Například (Jsem připraven předvést) mluvení velkému publiku postgraduálních studentů v Rakousku. Budu mluvit o základech odvozené algebraické geometrie. Postgraduální studenti tedy chtějí tyto nadace studovat a doufejme, že někteří z nich budou pokračovat ve studiu geometrického programu Langlands. K tomu však potřebují odvozenou algebraickou geometrii. (Poznámka editora: Tato přednáška byla naplánována na 2. dubna.)
Doufáte, že zachytíte zájem mladých studentů tím, že je naučíte odvozenou algebraickou geometrií. Jak jste se nejprve zajímali o program Langlands?
Bylo to zpět v 90. letech, kdy (Alexander) Sasha Beilinson (matematik nyní na Chicagské univerzitě) přišel do Tel Avivu (University), kde jsem byl postgraduálním studentem. Beilinson přednesl dvě rozhovory; Byl na samém začátku své vlastní práce na toto téma. A já jsem byl úplně zaujatý. Dozvěděl jsem se o programu Classical Langlands …, ale před jeho přednáškou jsem netušil, že by to mohlo souviset s geometrií. Bylo to poprvé, co jsem o tom slyšel. Objekty, o kterých mluvil, se mi zdály tak přitažlivé. Chtěl jsem studovat přesně ten typ matematického objektu. A všichni se v tom zázračně sešli. A já jsem si říkal: „Páni.“ Musel jsem na tom pracovat.
Řídí stejná fascinace stále váš výzkum?
Samozřejmě se věci vyvinuly. Je to jedna věc, když máte 20 let, další věc, když máte 50 let. Nevím, co mě teď pohání. Je to jako skutečná touha. Je to jako chuť k jídlu. Chci dělat matematiku. A pokud nemůžu, pokud mi bude bránit v matematice, například když jsem na rodinnou dovolenou na týden se svými dětmi, a nemohu dělat matematiku, trpím.
Opravdu? To se děje po týdnu?
Jeden týden je možná stále v pořádku. Ale po dvou týdnech jsem se stal hroznou lidskou bytostí.
No, to‚Je úžasné najít takovou vášeň v životě.
Není to opravdu vášeň.
Je to možná spíš jako nějaká závislost?
Ano, možná. Je to spíš: člověk musí jíst a člověk musí dělat matematiku.
Na čem teď pracujete? Povrhli jste se do propasti?
Snažím se zobecnit naši práci. Mám několik projektů v různých fázích. Je třeba vyvinout spoustu teorie, ale alespoň nyní máme program. Víme, co chceme.
Máte novou cestovní mapu?
Řekněme, že máme cestovní mapu touh, ale ne plán metod, jako je ten já (popsán) v roce 2013 (a Publikováno v roce 2015). Tehdy jsem přesně věděl, co je třeba prokázat. Teď vím, co chci, ale nevím, jak se tam dostat.
Možná získáte nové nápady od nových vědců.
To by bylo velmi pěkné. Ale myslím si, že v jistém smyslu je to jako darwinovský proces: pokud je matematika cenná, bude to studováno. A více lidí pochopí a přitahuje. A pokud je matematika nudná, pak příliš špatná. Čas se ukáže.
Tento článek se původně objevil v Spektrum vědy a byl reprodukován se svolením.
