Tento matematický problém s skladováním bloku má nesmyslné řešení, kterému musíte vidět, abyste věřili
Tato nemožná matematika v zásadě umožňuje můstek bez lepidla naskládaných bloků, který se může protáhnout přes Grand Canyon-a do nekonečna
Zde je experiment s ohromujícím myslí, který můžete vyzkoušet doma: shromáždit bloky některých dětí a umístit je na stůl. Vezměte jeden blok a pomalu jej zatlačte přes okraj stolu, palec po palec, dokud není na pokraji pádu. Pokud máte trpělivost a stabilní ruku, měli byste být schopni ji vyvážit tak, aby přesně polovina z toho visela z okraje. Posun to dál a vyhrává gravitace. Nyní vezměte dva bloky a začněte znovu. Skládáte jeden na vrcholu druhého, jak daleko můžete dostat konec horního bloku, abyste se postavili přes okraj stolu?
Pokračujte. Shromažďováním co nejvíce bloků, co je nejvzdálenější přesah, kterého můžete dosáhnout, než se celé struktury svrhne? Je možné, aby věž prodloužila plnou délku bloku za okrajem stolu? Umožňuje fyzika dvě délky bloků? Ohromující odpověď je, že naskládaný most se může navždy protáhnout. V zásadě může volně stojící hromada bloků pokrýt Grand CanyonNení nutné lepidlo.
O podpoře vědecké žurnalistiky
Pokud se vám tento článek líbí, zvažte podporu naší oceněné žurnalistiky předplatné. Zakoupením předplatného pomáháte zajistit budoucnost působivých příběhů o objevech a myšlenkách, které dnes formují náš svět.
Zatím klikněte na „Checkout“ na nekonečném balíčku bloků Jenga. Praktičnost v reálném světě, jako jsou nepravidelné tvary bloků, vzduchové proudy a drtivá hmotnost nekonečné budovy, mohou vaše inženýrské ambice bránit. Přesto je pochopení toho, proč převis nemá omezení v ideálním matematickém světě, je poučné. Vysvětlení závisí na harmonické sérii matematiky a konceptu fyziky centra mše, dvou zdánlivě jednoduchých nápadů s nadměrnou silou. (Pro více zábavy, podívejte se: Jak vysoký můžete postavit věž bez svržení?)
Vaše intuice vám může říct, že jeden blok může před vyklápěním zavěsit polovinu své hmoty za hranou stolu. Ale proč je to tak? Každý objekt má a Centrum hmoty– Jediný bod, ve kterém si dokážeme představit, jak se bude soustředit váhu celého objektu, když přemýšlíme o rovnováze. Dokud centrum hmoty sedí nad stolem, objekt zůstane nanesen. Ve chvíli, kdy však centrum hmoty prochází přes okraj gravitace celou věc vytáhne. V případě lžíce, položky s nepravidelným rozložením hmotnosti, můžeme zavěsit více než polovinu rukojeti náčiní přes okraj před tím, než se nakloní, protože střed hmoty leží blíže k hlavě, kde sídlí více hmotnosti. Pro náš naskládaný most předpokládáme, že všechny naše bloky jsou identické, s jednotnou hustotou (to znamená, že v některých částech nejsou hustší než jiné), takže každý centrum hmoty sedí uprostřed.
Když přidáme více bloků, musíme vysvětlit centrum hmoty celé věže. Zvažte případ dvou bloků. Víme, že horní blok může prodloužit polovinu své hmoty za jednu pod ním. Ale po tom, jak daleko můžeme vytlačit spodní blok?
Pro jednoduchost řekněme, že každý blok má délku 1 a hmotnost 1. Zjistíte, že spodní blok může vyrazit pouze čtvrtinu cesty (ve srovnání s polovinou délky přes okraj, když byl sám). V tomto okamžiku jsou střed hmoty horního bloku a střed hmoty spodního bloku rovnovážný od okraje stolu (střed horního bloku se nachází o čtvrtinu doprava od okraje a střed hmoty spodního bloku se nachází o čtvrtinu doleva od okraje). Takže kombinovaný centrum hmoty Systém dvou bloků spočívá dokonale vyvážený nad okrajem stolu.
Vzorec se objevuje, když pokračujeme v přidávání bloků do struktury. Horní blok se rozprostírá 1⁄2 Za ním se druhý blok rozprostírá 1⁄4 Za blokem pod ním se třetí rozšiřuje 1⁄6Čtvrtý prodlužuje 1⁄8pak se následující bloky prodlužují 1⁄10, 1⁄12a tak dále. Chcete -li vidět proč, podívejme se na jiný příklad. Předpokládejme, že máme stabilní věž, která obsahuje pět bloků, a chceme přidat šestý blok pod ní a poté vysunout celou strukturu, jak jen můžeme. Je užitečné konceptualizovat tento obrázek jako pouze dva bloky: jeden s hmotností 5 na vrcholu jednoho bloku s hmotností 1. Nejprve naskočíme těžký blok, pokud jde o to, aby jeho střed hmoty se nachází přímo nad hranou spodního bloku. Poté můžeme přesně tlačit spodní blok 1⁄12 jednotky za hranou stolu. Jak to víme?
Odpověď opět přichází na vyvážení centra hmotnosti obou bloků, teprve tentokrát, protože spodní blok je pětkrát lehčí, jeho střed hmoty musí skončit pětkrát dále na tabletu, aby se potlačila hmotnost těžšího bloku. Toto je známé jako zákon páky – myslím o tom, jak se kniha cítí těžší ve vaší dlani, tím dále ji odsunete od těla, takže brožovaná vazba v plně rozšířené paži by se mohla cítit ekvivalentní učebnici držené blízko k trupu. Vzdálenost mezi středem hmoty horního bloku a hranou stolu je 1⁄12A vzdálenost pro spodní blok je 1⁄2 – 1⁄12 = 5⁄12nebo pětkrát více. Podobný výpočet odhaluje správný přesah na všech úrovních věže.
Odpověď na naši úvodní otázku (jak daleko může věž prodloužit?) Rodí se sčítáním všech těchto po sobě jdoucích převisů. Pokud máte 10 bloků, mohou se rozšířit na 1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄6 + 1⁄8 + 1⁄10 + 1⁄12 + 1⁄14 + 1⁄16 + 1⁄18 + 1⁄20který přidává až asi 1,464 délky bloku za hranou. Jaký je však limit toho, jak daleko můžeme naskládat bloky? Za to musíme nekonečně přidat mnoho z těchto zmenšujících se termínů. Výsledný vzorec nese nápadnou podobnost s jedním z nejslavnějších nekonečné součty v matematice, harmonická série, která trvá vzájemný počet počítání (to znamená, 1 děleno každým pozitivním celém celému celému číslu) a shrnuje je všechny:
1 + 1⁄2 + 1⁄3 + 1⁄4 + 1⁄5 + …, a tak dále navždy.
Pokud se podíváte pozorně, možná si všimnete, že převisy problému s blokováním jsou přesně polovinou každého z těchto podmínek: 1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄6 + 1⁄8 + 1⁄10 + …
PočetVětev matematiky, která se vrhá na to, jak se věci mění, nás učí, že i když se nekonečně sčítá mnoho zmenšujících se termínů, někdy se součet konverguje na konečnou hodnotu a někdy se liší do nekonečna. Celkový soubor harmonické řady roste neuvěřitelně pomalu. Prvních 100 000 podmínek se zvyšuje asi 12,1, zatímco první milion podmínek se rovná pouze kolem 14,4. Přesto, v tempu vytrvalého šneka, harmonická série roste navždy.
Každý jednotlivý přesah v problému se stohováním bloku se rovná polovině termínu v harmonické řadě. Protože polovina nekonečna je stále nekonečno, potenciální přesah věže také nemá vázání.
Překládání čisté matematiky do praxe samozřejmě přichází vždy s překážkami, ale problém se stohováním bloku nabízí zábavnou výzvu obratnosti. S pouhými čtyřmi bloky byste měli být schopni prodloužit horní délku bloku kolem okraje (1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄6 + 1⁄8 = ~ 1,042). Abych splnil svou novinářskou due diligence, zkusil jsem to doma s hracími kartami na mém konferenčním stolku. Po několika minutách pohrávání pacienta se mi podařilo vyvážit horní kartu těsně za okrajem, přičemž visela zcela mimo stůl a cítil jsem se jako kouzelník.
Dvě délky plného bloku za jakýmkoli povrchem by vyžadovaly 31 kusů. Mezitím by vám 100 milionů kusů ani nedostalo plné 10 blokových délek přesahu, protože součet prvních 100 milionů podmínek v harmonické řadě dělí 2 se rovná asi 9,5. Trvá tedy nějakou štěrk, než pokryje Grand Canyon. V obrovských měřítcích se fyzika začne svrhnout zábavu matematiků. Ale v idealizovaných podmínkách, kdy centrum hmoty a samotné harmonické série vládnou hůl, jsou možnosti doslova nekonečné.
