Když se podívám na svou knihovnu, jsem zasažen vinou: Shromážděné příběhy Sherlocka Holmese od Arthura Conana Doyla už roky seděly nedotčeny. Bohužel jsem se nikdy nedostal přes fantastickou televizní adaptaci v hlavní roli Benedict Cumberbatch, abych si přečetl zdrojový materiál. Ale naštěstí pro Holmese má britský detektiv po celém světě.
Ve skutečnosti se příběhy o geniálním Sleuthu a jeho brilantním nemesis, profesorovi Jamesovi Moriartym, tak apelovaly na matematika Johna Von Neumanna a ekonoma Oskara Morgensterna, že v začátku 20. století hráli roli při vytváření teorie her. Tato matematická disciplína zkoumá strategie řešení různých problémů s rozhodováním. Vezměte si klasický „dortský problém“, který předpokládá, že nejspravedlivější způsob, jak dva lidé rozdělit dort tak, že každý dostane co nejvíce, vyžaduje, aby se jedna osoba pokusila snížit dort na dva stejné kusy a druhou pro výběr plátky. Morgenstern a Von Neumann toto řešení nevymysleli (bylo známo od starověku), ale je to dobrá ilustrace toho, jak teoretici her vymýšlí optimální strategie.
Dvojice byl obzvláště zaujatý scénářem, který Doyle popsal v jeho povídce „The Final Problem“, ve kterém Moriarty pronásleduje Holmese na platformu na Victoria Station v Londýně. Tam Moriarty vidí, že Holmes skočí do vlaku do Doveru. Moriarty již nemůže nastoupit na vlak. Proto najímá jediný motorizovaný železniční kočár ve snaze. Holmesův vlak však nejde rovnou do Doveru, ale na cestě se zastaví v Canterbury. Moriarty se tedy musí rozhodnout: Měl by se zastavit v Canterbury, v naději, že Holmes tam vystoupí z vlaku, nebo cestuje až do Doveru? Také Holmes musí zvážit své volby. Z Doveru může uprchnout na evropskou pevninu. Ví, že Moriarty může očekávat tento výsledek a čekat na něj, ale možná by měl Holmes vystoupit z vlaku v Canterbury. Ale co když to je přesně to, co chce Moriarty myslet Holmes?
O podpoře vědecké žurnalistiky
Pokud se vám tento článek líbí, zvažte podporu naší oceněné žurnalistiky předplatné. Zakoupením předplatného pomáháte zajistit budoucnost působivých příběhů o objevech a myšlenkách, které dnes formují náš svět.
Tento scénář zaujal Morgenstern a von Neumann, kteří nakonec nakonec dospěl k závěru Ve své základní knize z roku 1944, že „Sherlock Holmes je stejně dobrý jako 48% mrtvý, když se jeho vlak vytáhne ze stanice Victoria.“ Jak však mohli dát na to takovou přesnou postavu? A jak by měl Holmes jednat, aby unikl svému protivníkovi? To vše lze odpovědět pomocí teorie her.
Bitva rozumu
První věc, kterou je třeba zvážit, je, že chytrý Holmes a Moriarty pravděpodobně uhodnou, co si myslí druhý. („Pokud si myslí, že si myslím, že si myslí …“) Tyto úvahy by mohly snadno přistát Holmes v nekonečné logické smyčce bez výletu ven.
Holmes by proto měl předpokládat, že Moriarty předvídá své rozhodnutí v obou případech a odpovídajícím způsobem omezí škodu. Jinými slovy, detektiv by měl optimalizovat své rozhodnutí s ohledem na nejpesimističtější předpoklady. Tuto strategii zveřejnil Von Neumann již v roce 1928 a byl použit k prokázání, že zisk hráče může být maximalizován, pokud člověk předpokládá, že soupeř má v úmyslu způsobit co největší poškození.
Bez jasné výherní strategie – na rozdíl od problému dortu – může pomoci pouze šance. Zvažte hry, jako jsou rozsahy s rockovým papírem: Jakmile si jeden hráč vybere vzorec, může jej soupeř využít, aby vyhrál. Nejlepší strategií je proto vybrat nůžky, rock a papír stejně s pravděpodobností po jedné třetině. V průměru by obě strany měly v průměru vyhrát a ztratit stejně často, což minimalizuje jejich škody.
Případ Holmese a Moriarty je o něco složitější. Abychom pochopili tento bod, pomáhá procházet různými možnými scénáři jednotlivě a vážit je pomocí čísel, jak to udělali Von Neumann a Morgenstern. Oba matematici se rozhodli použít hodnoty mezi –100 a 100, přičemž vysoká hodnota symbolizuje obzvláště obohacující situaci pro danou osobu. Přesné numerické hodnoty (známé jako výplaty) vybrané pro každou situaci jsou subjektivní, ale toto subjektivní vážení lze poté použít k učinění optimálního rozhodnutí z objektivního hlediska.
Morgenstern a von Neumann určili, že by nakonec mohly dojít ke čtyřem různým situacím. Zaprvé, Moriarty a Holmes mohli cestovat do Doveru, kde Moriarty zavraždil detektiva. Pro Moriarty je to optimální, takže odpovídá výplatě 100. Pro Holmese je to na druhé straně katastrofální – 100.
Za druhé, Moriarty mohl vystoupit z vlaku v Canterbury, zatímco Holmes cestuje do Doveru. To je špatná zpráva pro Moriarty, protože Holmes by mohl uprchnout na evropský kontinent, takže je ještě obtížnější ho chytit. Tato situace je proto vážena na –50 pro Moriarty. Pro Holmese je to na druhé straně pozitivní výsledek, takže Von Neumann a Morgenstern mu dávají hodnotu 50.
Ve třetím scénáři Moriarty cestuje do Doveru, ale Holmes již vystoupil v Canterbury. To je špatné pro Moriarty, ale alespoň lepší než výše popsaný případ. Situace pro něj může být vážena; Totéž platí pro Holmes, který je stále uvízl v Anglii.
V posledním případě vystoupili Moriarty i Holmes v Canterbury. To by bylo optimální pro Moriarty, jasné 100, a znamenalo by to smrt pro Holmese, jehož výplata je –100.
Cílem každé osoby je maximalizovat své výplaty. Bez jasného optimálního rozhodnutí se však Holmes a Moriarty musí spoléhat na šanci. Tady jsou věci zajímavější. Například mohli každý převrátit mince, aby se rozhodli, zda vystoupí v Canterbury nebo Dover. Pokud se Moriarty zastaví v Canterbury, očekávaná hodnota Holmesova výplaty je: 0,5 × 50 – 0,5 × 100 = –25. Pokud na druhé straně Holmes vystoupí z vlaku v Canterbury, očekávaná hodnota pro Holmes je –0,5 × 100 + 0,5 × 0 = –50. Celkem je očekávaná výplata Holmese –0,5 × 25 – 0,5 × 50 = –37,5. Moriartyho výplaty mají stejnou velikost, ale opačné znamení.
Ještě horší: ve scénáři, kdy jejich rozhodnutí závisí na mincovském převrácení, Holmes zemře s pravděpodobností 50 procent. Je to proto, že Moriarty zavraždí detektiva, pokud oba muži vystoupí na stejném místě, což má v každém scénáři pravděpodobnost 0,5. To má za následek pravděpodobnost úmrtí 0,5 x 0,5 + 0,5 x 0,5 = 50 procent.
Hraní s pravděpodobností
Holmes má statisticky lepší šance, pokud dodržuje jiné rozdělení pravděpodobnosti – například, pokud například převrátí minci, která nejednoznačně přistál na hlavách nebo ocasu. Předpokládejme, že Holmes si vybere Dover s pravděpodobností str a že to Moriarty dělá s pravděpodobností q (Odpovídající je, že oba hráči cestují do Canterbury s pravděpodobností 1 – str a 1 – Q, respektive). Pokud Moriarty cestuje do Doveru, očekávaná výplata Holmese je: –100 × str + 0 x (1 – str) = –100str. Pokud na druhé straně Moriarty vystoupí v Canterbury, Holmes’s Payoff je: 50 × str – 100 x (1 – str) = 150str – 100.
V prvním případě (pokud Moriarty cestuje do Doveru), Holmesova výplata klesá jako str se zvyšuje; Ve druhém se zvyšuje. Aby se připravil na nejhorší situaci, měl by si Holmes vybrat str pro které jsou výplaty stejné – bez ohledu na rozhodnutí Moriartyho. Za tímto účelem musí být obě očekávané hodnoty rovny: 150str – 100 = –100str. Pokud vyřešíte rovnici pro P, Získáte hodnotu 0,4. To znamená, že Holmes by měl cestovat do Doveru s pravděpodobností 40 procent a nechat vlak v Canterbury s pravděpodobností 60 procent.
Mimochodem, stejné zdůvodnění platí pro Moriarty, pouze naopak. Pokud výpočet provedete stejným způsobem, skončíte s q = 0,6; To znamená, že Moriarty by měla cestovat do Doveru s pravděpodobností 60 %. Holmesova celková šance na přežití v tomto scénáři je proto: (Pravděpodobnost, že Holmes je v Doveru) × (pravděpodobnost, že Moriarty je v Canterbury) + (pravděpodobnost, že Holmes je v Canterbury) × (pravděpodobnost, že Moriarty je v Doveru) = 52 procent, mírně vyšší, než kdyby oba otočily mise.
Tímto způsobem von Neumann a Morgenstern praskli dilema, kterému Holmes čelil, alespoň z matematického hlediska. Ale co se stane v povídce?
Holmes a Moriarty s sebou nemají ani rovinou minci ani generátor náhodných čísel. Přesto se řídí zákony teorie her. Holmes vystoupí z vlaku v Canterbury a sleduje, jak Moriarty šťastně cestuje k Doveru ve svém jediném kočáru, nevěděl, že se ho Holmes vyhnul.
Skutečnost, že se Doyle rozhodl pro tuto verzi, je pozoruhodnější, když se domníváte, že teorie her ještě neexistovala, a nemohl vědět, že se jedná o optimální řešení. Možná to byla náhoda – nebo možná měl dobré instinkty. Ať tak či onak, připomněl jsem se, že se brzy podíváme na jeho psaní.
Tento článek se původně objevil v Spektrum vědy a byl reprodukován se svolením.
