Jednou z památek Kjóta, domova matematiky Masaki Kashiwara, je řeka Kamo. V určitých bodech existují odrazové kameny, které obyvatelům umožňují překročit řeku od mostů. Pokud se na tyto kameny podíváte blíže, můžete vidět, jak se voda tvoří víry a malé víry kolem nich. Popis tohoto toku kapaliny není snadné. Musíte vyřešit komplikované rovnice, které byly známy po staletí, ale stále představují dnes mnoho záhad: mají rovnice vždy řešení? Jak je lze vypočítat? A jaké vlastnosti mají? Zdá se, že matematici dosáhli limitu s nástroji jejich obchodu. Pro dosažení pokroku je zapotřebí nová sada nástrojů. Japonský matematik Masaki Kashiwara vyvinul takovou sadu nástrojů pro podobně obtížné otázky v 70. letech.
Kashiwara zavedla osvědčené metody algebry do analýzy – do teorie, která je základem počtu, která zkoumá funkce, limity a další koncepty – a spolu se svými kolegy založily zcela novou odvětví matematiky: algebraická analýza. To vedlo k významnému pokroku v různých oborech. Například Kashiwarovi se podařilo vyřešit jeden z problémů, které představuje matematik David Hilbert na začátku 20. století a vyvinul nové techniky, které se nyní používají v moderní fyzice.
Kashiwara „prokázala úžasné věty s metodami, které si nikdo nepředstavoval. Byl skutečným matematickým vizionářem,“ přečetl nedávnou tiskovou zprávu z norské akademie věd a dopisů, která ho ctila letošní cenou Abel – jedna z nejvyšších vyznamenání matematiky.
O podpoře vědecké žurnalistiky
Pokud se vám tento článek líbí, zvažte podporu naší oceněné žurnalistiky předplatné. Zakoupením předplatného pomáháte zajistit budoucnost působivých příběhů o objevech a myšlenkách, které dnes formují náš svět.
Kashiwara se narodil poblíž Tokia v roce 1947. Objevil svou vášeň pro matematiku v raném věku prostřednictvím tradičních japonských hádanek známých jako jako Tsurukamezan. Tyto hádanky zahrnují správné výpočet počtu jeřábů a želv: Předpokládejme x hlavy a y nohy jsou viditelné. Kolik jeřábů a želv je tam? Rodiče Kashiwary neměli moc vystavení abstraktnímu předmětu, ale mladí Masaki si tento problém vyřešili pomocí algebraických metod.
Zde je jeden příklad: Každý jeřáb a želva má dvě a čtyři nohy (y) – a oba mají jednu hlavu (x). Výpočet počtu jeřábů (k) a želvy (s), je třeba vyřešit následující rovnice: 2k + 4s = y a k + s = x. Například, pokud je vidět 16 nohou a pět hlav, musí existovat dva jeřáby a tři želvy.
Kashiwara si uvědomil, že si takové otázky zobecňuje. Se svými úspěchy vynikal ve škole. Když se setkal s pozdním matematikem Mikio Sato, když byl studentem Sata na Tokijské univerzitě, věnoval se tomuto typu řešení problémů. Kashiwara byla na správném místě ve správný čas: Sato a jeho kolegové pak vyvíjeli zcela novou odvětví matematiky, která kombinuje dvě odlišná pole: analýza a algebru.
Nic nestojí
Kashiwara pracoval se svým mentorem na diferenciálních rovnicích. V našem světě je všechno v pohybu; Nic zůstává trvale stále. Dokonce i gigantické pohoří, jako jsou Himaláje, roste nebo se postupem času zmenšuje. Takové změny mohou být matematicky vyjádřeny pomocí derivátů. Celá fyzika je založena na rovnicích, které obsahují deriváty, tzv. Diferenciální rovnice. Lze je použít k popisu populace živých organismů, trajektorie měsíce nebo rychlosti průtoku řeky Kamo.
Zatímco diferenciální rovnice lze rychle zapsat, je mnohem obtížnější je vyřešit. V některých zvláštních případech je řešení známo. U jiných však není ani jasné, zda lze problém vyřešit vůbec. Jeden z nejdůležitějších nevyřešených problémů v matematice se točí kolem otázky, zda Navier-Stokesovy rovnice, které popisují tokové chování tekutin, Vždy mějte řešení. Navzdory staletí výzkumu v oblasti analýzy zůstává mnoho z nejnaléhavějších problémů nevyřešeno.
Když jste přilepeni na problém, někdy to pomůže podívat se na něj z jiné perspektivy. Často je užitečné ustoupit a prozkoumat problém z dálky. V tomto případě se mohou přesné podrobnosti rozmazané, ale obecná struktura tématu se stane viditelnou. Tento přístup je užitečný pouze pro praktické a každodenní problémy, ale může být také užitečný v matematice.
Podobný přístup sledovala japonská výzkumná skupina vedená Sato. Tým chtěl prozkoumat diferenciální rovnice z jiné perspektivy. Za tímto účelem vědci opustili pole analýzy a místo toho se obrátili na algebru. Algebra je obecně mnohem abstraktnější: zaměření nemusí být nutně matematické objekty – v tomto případě rovnice a jejich deriváty -, ale spíše jejich chování. Stejně jako ve fyzice, jeden studuje novou částici zkoumáním jejích interakcí s jinými částicemi, měla by souhra různých rovnic odhalit nové poznatky. To je myšlenka, která je základem algebraické analýzy.
Takže místo toho, aby si vybrali konkrétní diferenciální rovnici a podrobně ji prozkoumali, Sato a jeho kolegové se věnovali celé třídě takových rovnic. Rovněž umožnili diferenciálním rovnicím pohybovat se nejen na rovině, ale také na zakřivených površích – jako když se snaží popsat řeku na podivně tvarované planetě. Tento přístup se může zdát docela složitý, ale ve skutečnosti se otevírá zcela nové možnosti. To umožňuje odvodit obecné vlastnosti pro třídu uvažovaných diferenciálních rovnic, které nejsou patrné pro jednotlivé rovnice.
Na konci šedesátých let uspořádal Sato týdenní seminář, ve kterém účastníci spolupracovali na vývoji konceptů nové teorie. Mezi všemi odborníky byla Kashiwara, pak mladý student, který se dychtivě zúčastnil.
Do rychlého pruhu s D-Modules
V roce 1970 začal Kashiwara pod Sato diplomovou práci. Jeho úkolem bylo vyvinout algebraické nástroje pro zkoumání objektů z analýzy. Potom Kashiwara představil tzv. D-Moduly, které umožňují extrahovat cenné informace z diferenciálních rovnic. D-Moduly lze například použít k určení, zda řešení rovnic obsahují „singularity -to znamená, zda existují oblasti, kde předpokládají nekonečné hodnoty. Moduly lze také použít k výpočtu, kolik roztoků mají rovnice.
Výsledky diplomové práce Kashiwara formovaly rozvíjející se pole algebraické analýzy. Napsal však svůj výzkum v japonštině – trvalo to celých 25 let, než byl přeložen do angličtiny, a tak byl zpřístupněn širšímu publiku.
Po ukončení studia šel Kashiwara na Kyoto University, kde pokračoval ve spolupráci se Sato a získal doktorát. Přitom dále rozvíjel nové metody, které založil v diplomové práci. „Od roku 1970 do roku 1980 Kashiwara vyřešila téměř všechny základní otázky. D-Module teorie, “vzpomněl si svého francouzského kolegy Pierre Schapira v a Činnost z roku 2008 To bylo založeno na rozhovoru z roku 2007. Po ukončení doktorátu Kashiwara přijal pozici na Nagoya University, provedl rok na Massachusetts Institute of Technology a poté se v roce 1978 vrátil do Japonska, aby přijal profesor na Kyoto University.
S pomocí D-Modules, Kashiwara vyřešil jeden z nejdůležitějších problémů v oboru v roce 1980, problém, který Hilbert představil ve své slavné sté výročí adresy na Mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900. Mezi 23 problémy, které Hilbert považoval za průkopniky pro výzkum 20. století, se zabývá diferenčními rovnicemi. Německý matematik chtěl vědět, zda by bylo vždy možné najít diferenciální rovnici, jejíž řešení mělo na daném zakřiveném povrchu singularity. Kashiwara dokázal prokázat, že je to skutečně možné pro určité typy povrchů – v těchto případech lze vypočítat vhodnou diferenciální rovnici.
D-Moduly vedly k pokroku v mnoha různých oblastech matematiky. Ale také dokazují užitečné ve fyzice. V roce 2023 matematik Anna-Laura Sattelberger z Maxe Plancka Institutu pro matematiku ve vědách v Lipsku, Německu a další použité odborníky D-Moduly pro vyhodnocení kvantového fyzického „integrálu cesty“. Používají se k výpočtu, které procesy probíhají v akcelerátorech částic, například když se srazí dva protony a vytvoří řadu nových částic. Extrémně složité integrály lze považovat za řešení diferenciálních rovnic, a proto mohou metody algebraické analýzy pomoci určit jejich vlastnosti.
Na symetrie a kvantové skupiny
Kashiwara měla také významný vliv na jiné oblasti matematiky. Jednou z nich je teorie reprezentace, která se používá k popisu symetrií. Objekt je považován za symetrický, pokud to vypadá stejně po určitých transformacích (jako jsou rotace nebo odrazy). Například rovnovážný trojúhelník může být otočen násobky 120 stupňů, aniž by se změnil jeho tvar. Teorie reprezentace umožňuje odborníkům vypočítat transformace symetrie: Co se stane například, pokud kombinujete rotaci 270 stupňů s odrazem podél y-osa? Takové otázky lze odpovědět obzvláště dobře, pokud reprezentujete transformace symetrie pomocí matic: Kombinace transformací odpovídá násobení odpovídajících matic.
Vhodné reprezentace však nelze najít pro všechny typy symetrií. V průběhu své práce se Kashiwara rozsáhle zaměřila na nepřetržité symetrie, známé v matematice jako na lži. Dospěl k významnému pokroku při zkoumání jejich reprezentací.
Také prozkoumal diskrétní „kvantové skupiny“, které nejsou spojité. Takové diskrétní kvantové skupiny hrají důležitou roli v kvantové fyzice. Na mikroskopické úrovni se většina množství objevuje pouze u malých kusů; Zdá se, že svět je kvantizován v nejmenším měřítku. Pro popis symetrie kvantizovaných množství představil Kashiwara koncept křišťálových základen. Umožňují, aby kvantové skupiny byly reprezentovány směrovanými sítěmi. To nabízí obrovské výhody, což umožňuje zodpovězení otázek teorie reprezentace z kombinatoriálních úvah (uspořádání objektů v konečné sadě), které jsou obecně mnohem jednodušší. Tyto koncepty od té doby prokázaly svou hodnotu v matematice i fyzice.
„Po více než 50 let se Masaki Kashiwara přetvořila a hluboce obohatila pole algebraické analýzy a teorie reprezentace,“ napsala norská akademie věd a dopisů ve své nedávné tiskové zprávě. Matematik byl již oceněn řadou ocenění za tento působivý výzkum. Letošní cena Abel, která ctí celoživotní úspěch matematika, představuje vyvrcholení toho, čeho dosáhl. Cena Abel je modelována na Nobelově cenách, které nezahrnují matematiku, a přichází s 7,5 milionu norských Kroner (přibližně 710 000 $).
Zdá se, že 78letý muž nemyslí o důchodu: stále pravidelně publikuje nové zjištění výzkumu a snaží se obohatit matematiku novými odrazovými kameny.
