Portly, plešatý sochař, který se obrátil na architekt, musel nakreslit několik zvědavých pohledů, když v rohu piazzy z renesance zřídil komplikovaný malířský aparát. Zasadil svůj nástroj, který zahrnoval stojan, zrcadlo a drátěný rámec, poblíž tehdy nedokončené katedrály Florencie v Itálii – katedrálu, jejíž monumentální kupole brzy navrhne.
Jmenoval se Filippo Brunelleschi a použil aparát k vytvoření obrazu křtu poblíž katedrály. Tato demonstrace jeho nedávno objevených zákonů perspektivy se údajně objevila někdy mezi lety 1415 a 1420, pokud jsou jeho životopisy správné. Použití zákonů perspektivy ohromených kolemjdoucích změnilo průběh západního umění více než 450 let a v poslední době vedlo k matematickým objevům, které umožňují Eliptická křivka kryptografie. Toto je bezpečnostní schéma, které základem Bitcoin a další kryptoměny a staly se rychle rostoucí metoda šifrování také na jiných internetových platformách.
Ale jak to udělal Renesanční umění vést k matematice, která řídí moderní kryptografii? Příběh zahrnuje šest století a dva kontinenty a dotýká se samotného nekonečna. Mezi jeho postavy patří francouzský válečný vězeň a dva matematici se udeřili do jejich prvotřídního – jeden z nemoci a druhý duelistovou pistolí.
O podpoře vědecké žurnalistiky
Pokud se vám tento článek líbí, zvažte podporu naší oceněné žurnalistiky předplatné. Zakoupením předplatného pomáháte zajistit budoucnost působivých příběhů o objevech a myšlenkách, které dnes formují náš svět.
Sloučení perspektivy a geometrie
První kroky na cestě z Brunelleschi do Bitcoin zahrnoval spojování vizuální geometrie v rámci pravidel pro perspektivu s euklidovskou geometrií, řádnou oblast linií a bodů, které jsme ve škole učili.
Prvním přispěvatelem byl francouzský matematik Girard DeSargues, který zkoumal geometrii perspektivy v 17. století. Jeho zjištění však byla v poměrně nejasném jazyce zasažena a snažila se najít publikum. Jeho klíčové příspěvky byly zahrnuty do knihy, která měla tiskový běh 50 kopií, malý i pro tuto éru, a mnoho z těchto kopií nakonec vydavatele koupilo zpět a zničeno. Během života DeSarguese se stal pouze francouzský matematik Pascal pouze kolega z jeho práce. Pascal přispěl svou vlastní větou ke studiu toho, co se stalo známým jako „projektivní geometrie“.
Přes DeSarguesovu nejasnost provedl revoluční průlom přidáním konceptu bodů a linií v nekonečnu do euklidovské geometrie. Zahrnutím těchto bodů by mohla být projektivní geometrie sloučena s euklidovskou geometrií způsobem, který byl pro oba systémy konzistentní.
V DeSarguesově systému, každý Dvojice řádků se setkává přesně v jednom bodě, bez zvláštních výjimek pro paralelní linie. Kromě toho jsou paraboly a hyperbolasy ekvivalentní elipsy s přidáním jednoho nebo dvou bodů v nekonečnu.
Tyto poznatky, i když cenné, by se mizely v temnotě déle než 100 let. Když se znovu objevili, nebylo to proto, že by práce DeSargues byla znovu objevena. Spíše jiný francouzský matematik, Gaspard Monge, začal pracovat na stejných otázkách a odvodil podobné výsledky.
Matematik ve válce
Nejkomplexnější práce na projektivní geometrii v této éře však přišla v 19. století od francouzského inženýra a matematika Jean-Victor Poncelet za poněkud vyzkoušených okolností.
Poncelet attended France’s prestigious École Polytechnique, graduating in 1810. He then joined France’s corps of military engineers as a lieutenant and was ordered to what is now Belarus to support Napoleon’s invasion of Russia in 1812. He and his fellow troops overran a burned out and abandoned Moscow in September of that year, and when the Russians refused to sue for peace after losing the Město, Poncelet byl s Napoleonem, když armáda opustila Moskvu a začala se návrat do Francie.
Poncelet zůstal s francouzskou armádou až do bitvy u Krasnoye v Rusku, kde byl oddělen od své jednotky a možná odešel na mrtvé. Po bitvě byl ruskou armádou nashromážděn a pochodoval do Saratova v Rusku, více než 700 mil od Krasnoye a více než 2 000 mil od svého domu ve Francii Metz.
Ačkoli Poncelet nebyl omezen na vězení, byl „zbaven knih a pohodlí nejrůznějších“, podle anglického překladu svého úvodu do své první knihy o projektivní geometrii. Jako mechanismus zvládání se rozhodl, že se pokusí přestavět veškerou matematiku, kterou se do té doby naučil. Tento plán však nemohl provést a řekl, že byl „zoufalý především neštěstí mé země a mého vlastního pozemku“.
Místo toho se v podstatě rozšířil o Mongeovu práci a znovu vytvořil DeSarguesovu práci samostatně. Při zpětném pohledu možná není divu, že válečný vězeň tisíce kilometrů od domova a nejistý, kdy, nebo dokonce, kdyby byl repatriován, by soustředil své úsilí na porozumění bodům v nekonečnu – vzdálenost, která by se mohla zdát docela srozumitelná někomu v situaci Ponceletu.
Po skončení války, která byla vyvolána touto invazí, se Poncelet vrátil do Francie a jeho dvoudílné práce na projektivní geometrii, publikované v roce 1822, byla mnohem dobře přijatelnější a široce čtená než DeSarguesova práce.
Integrály a křivky
Přibližně ve stejnou dobu, kdy Poncelet dokončil svou knihu o projektivní geometrii, studoval norský matematik Niels Henrik Abel eliptické integrály. Tyto integrály jsou poměrně obtížné výrazy, které začaly jako části pokusu o změření obvodu elipsy. Abel zjistil, že existují určité okolnosti, kdy by se místo toho mohla použít inverzi těchto eliptických integrálů – které se nazývají eliptické křivky. Ukázalo se, že křivky jsou mnohem snazší pracovat. Další výzkum eliptických křivek by však byl ponechán ostatním; Abel zemřel na tuberkulózu ve věku 26 let v roce 1829, pouhé měsíce po zveřejnění důležitého příspěvku na toto téma.
Na začátku 30. let 20. století francouzský matematik Évariste Galois položil základy pro nové pole matematiky. Galois by tragicky zemřel, ale také tvrdohlavě v souboji ve věku 20 let, ale před jeho smrtí stanovil principy skupinové teorie, ve kterých matematické objekty a operace, které sledují určitá pravidla, tvoří skupinu.
Francouzi se podařilo sjednotit projektivní geometrii s euklidovskou geometrií, ale spadalo by na německého matematika, August Möbius (Möbius Strip slávy), aby zjistil, jak sloučit projektivní geometrii s kartézským souřadnicovým systémem známým pro studenty algebry jako prostředku grafických rovnic. Systém, který vyvinul, který používá tzv. Homogenní souřadnice, hraje klíčovou roli v kryptografii eliptické křivky.
O několik desetiletí později, v roce 1901, si další francouzský matematik, Henri Poincaré, uvědomil, že body s racionálními souřadnicemi – to znamená, body s souřadnicemi, které lze reprezentovat jako zlomky na grafu eliptické křivky – obsahované skupině. Poincaré si uvědomil, že pokud jste definovali operaci (obvykle nazývanou „sčítání“), která zaznamenala dva racionální body na grafu křivky a přineslo třetí, výsledek byl vždy další racionální bod na křivce. Tento proces byl zpracován pouze tehdy, pokud jste však použili homogenní souřadnice objevené Möbiusem, které však zahrnují bod v nekonečnu. Důležité je, že skupiny eliptické křivky se ukázaly jako Abelian, což znamenalo, že na pořadí, ve kterém byly tyto operace s přidáváním provedeny, nezáleželo.
To je místo, kde záležitosti stály až do poloviny 80. let, kdy Victor S. Miller, tehdy výzkumný pracovník v IBM a Neal Koblitz z University of Washington, si samostatně uvědomili, že byste mohli postavit klíčový kryptografický systém veřejně-soukromého kryptografického systému založený na skupinách eliptické křivky.
Šifrovací klíče
Šifrování klíče veřejného a soukromého sektoru, což je to, jak je zabezpečen téměř veškerý provoz na internetu, spoléhá na dva šifrovací klíče. První klíč, soukromý, není s nikým sdílen; Je bezpečně udržován na zařízení odesílatele. Druhý klíč, veřejný, je složen ze soukromého klíče a tento klíč je odeslán „v jasném“, což znamená, že jej může kdokoli zachytit a číst. Důležité je, že oba klíče jsou vyžadovány k dešifrování odeslané zprávy.
V kryptografii eliptické křivky každá strana souhlasí na určité křivce a poté každá provádí náhodný počet operací přidání, které začínají od stejného bodu na stejné křivce. Každá strana poté pošle číslo odpovídající bodu, na který dorazily druhému. Toto jsou veřejné klíče. Druhá strana poté provádí stejné přídavné operace, jaké použili poprvé na novém čísle, které obdrželi.
Protože skupiny eliptické křivky jsou komutativní, což znamená, že na tom nezáleží, jaké přidání pořadí je prováděno, obě strany dorají na číslo odpovídající stejnému konečnému bodu na křivce, a toto je číslo, které bude použito k šifrování a dešifrování dat.
Eliptická křivka kryptografie je relativní latecomer k šifrovací hře. První sada nástrojů se neobjevila až do roku 2004, příliš pozdě na to, aby se stala standardem pro web, ale dostatečně brzy na to, aby byla přijata vynálezci bitcoinů, která byla spuštěna v roce 2009.
Jeho stav de facto standardu pro kryptoměny učinil s ním lidi více obeznámeni a pohodlnější implementovali, i když stále zaostává za šifrováním RSA, standardní metodou, která se dnes používá, s širokým rozpětím.
Přesto eliptická křivka kryptografie má zřetelné výhody oproti kryptografii RSA: poskytuje silnější zabezpečení za bit a je rychlejší než RSA. Kryptografický klíč eliptické křivky pouhých 256 bitů je zhruba stejně bezpečný jako 3 072bitový klíč RSA a výrazně bezpečnější než 2 048bitové klíče, které se běžně používají. Tyto kratší klíče umožňují rychlejší vykreslování stránky pro webový provoz a na straně serveru je menší zatížení procesoru. Principy z eliptické křivky kryptografie se používají k pokusu o vývoj kryptografických systémů, které jsou více rezistentní na kvantu.
Pokud trendy budou pokračovat, může se matematika za mizejícím bodem objevené renesančními umělci před 600 lety ukázat jako základní součást internetového šifrování v budoucnu.
